T1/273. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương a, b sao cho là số nguyên
T2/273. Giải phương trình: 5x5 + 5ax3 + a2x + 5b = 0, trong đó a, b là các số cho trước và a ( 0.
T3/273. Tìm GTNN của biểu thức: x2 + 3x + y2 + 3y +
T4/273. Cho tam giác ABC và hai điểm phân biệt M, N nằm bên trong nó. Các tia AM và AN cắt BC tại A1 và A2 tương ứng. Các tia BM và BN cắt CA tại B1 và B2 tương ứng. Các tia CM và CN cắt CA tại C1 và C2 tương ứng. Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của AA1 và B1C1, BB1 và C1A1, CC1 và A1B1. Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của AA2 và BB1, BB2 và CC1, CC2 và AA1. Chứng minh rằng:
a) b) 6
T5/273. Trên mặt phẳng cho hai điểm cố định M, N và (ABC có BC < MN và < 900. Cho (ABC chuyển động trượt trên mặt phẳng sao cho độ dài 3 cạnh AB, BC, CA không đổi, đường thẳng AB qua M và đường thẳng AC qua N. Chứng minh đường thẳng BC luôn tiếp xúc một đường tròn cố định.
T6/273. Chứng minh với mỗi số n nguyên dương, tồn tại số tự nhiên k sao cho số
k.5n = viết trong hệ thập phân thoả mãn điều kiện: ai và i có cùng tính chất chẵn lẻ, với mọi i = 1, 2, ..., m.
T7/273. Xác định hàm số f(x) liên tục từ R+ vào R+ thoả mãn:
1) f(2x) = 2f(x), (x ( R+.
2) f[f2(x)] = x.f(x), (x ( R+.
3) f(x) ( N*, (x ( N*.
T8/273. Giải phương trình: 3arctgx - arctg3x = (/2
T9/273. Cho đường tròn (O, R) và một điểm P tròn đường tròn. Hai cạnh Px và Py của góc vuông xPy cắt đường tròn ở A và B, các tiếp tuyến của đường tròn tại A và B cắt nhau ở điểm M. Tìm quỹ tích điểm M khi góc vuông xPy quay quanh P.
T10/273. Cho hình trụ T1. Ta gọi hình trụ T2 là nội tiếp ngang T1 nếu mỗi đáy của T1 chứa đúng một đường sinh của T2 và mặt xung quanh của T1 chứa bốn điểm của đường tròn đáy của T2. Hình trụ T1 phải thoả mãn điều kiện gì để có vô hạn hình trụ T1, T2, ..., Tn, ... mà mỗi hình trụ đứng sau nội tiếp ngang hình trụ đứng trước.