T1/271. Cho dãy số (an) (n = 0, 1, 2, ...) xác định bởi:
a0 = 9, an+1 = 27an28 + 28an27, (n ( N.
Chứng minh số a11 viết trong hệ thập phân có tận cùng nhiều hơn 2000 chữ số 9.
T2/271. Giải phương trình: (x-1)2[1 + 2x + 3x2 + ... + (n+1)xn] = 1, n ( Z+.
T3/271. Các số thực a, b thoả mãn điều kiện a2 + b2 ( 1. Chứng minh:
(ac + bd - 1)2 ( (a2 + b2 - 1)(c2 + d2 - 1)
với mọi số thực c, d.
T4/271. Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm N trên cạnh BC sao cho BN = 2NC. Xét các điểm E và F lần lượt trên các cạnh AB và CD. Tìm điều kiện của biểu thức
AE-DF để tồn tại điểm M trên AD sao cho
T5/271. Tìm độ dài nhỏ nhất của cạnh hình vuông sao cho có thể đặt vào trong nó 5 hình tròn bán kính r = 1 mà không có hai hình tròn nào chồng lên nhau.
T6/271. Tìm điều kiện của m để hệ phương trình sau có nghiệm:

T7/271. Cho hai số thực dương a, b thoả mãn a ( b. Lập hai dãy số (un), (vn) (n = 1, 2, ...) xác định bởi:
u1 = a, v1 = b, un+1 = 2(un + vn), vn+1 =
với mỗi n = 1, 2, ...
Chứng minh: 4n(a + b) ( un+1 + vn+1 ( 22n+1
T8/271. Xét phương trình: xn - x2 - x - 1 = 0 (n > 2)
a) Chứng minh với mỗi số nguyên n > 2, phương trình trên có nghiệm dương duy nhất.
b) Tìm n(xn-1), trong đó xn là nghiệm dương của phương trình nói trên.
T9/271. Cho (ABC. Gọi (Q, R) là đường tròn ngoại tiếp và (I, r) là đường tròn nội tiếp tam giác. Gọi dA, dB, dC lần lượt là khoảng cách từ Q đến tâm đường tròn bàng tiếp các góc tròn đỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:
dA2 + dB2 + dC2 ( IA2 + IB2 + IC2 +12Rr
T10/271. Gọi S là diện tích toàn phần tứ diện ABCD. Chứng minh:
(AB+AC+AD)2 > 2SBC-CD)2 + (CD-DB)2 + (DB-BC)2}