T1/269. Xét số tự nhiên An = 19981998...1998 được viết trong hệ số thập phân bởi n số 1998 nối tiếp nhau.
a) Chứng tỏ rằng tồn tại số nguyên dương n < 1998 sao cho An chia hết cho 1999.
b) Gọi k là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn An chia hết cho 1999. Chứng minh rằng 1998 chia hết cho 2k.
T2/269. Giải phương trình: 1.
T3/269. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = (1+x)(1+ (1+y)(1
trong đó các số dương x, y thoả mãn x2 + y2 = 1.
T4/269. Cho tứ giác lồi ABCD. Lấy điểm M bất kỳ trên đường chéo AC. Đường thẳng qua M song song với AB cắt BC tại P. Đường thẳng qua M song song với CD cắt AD tại Q. Chứng minh rằng:
Đẳng thức xảy ra khi nào?
T5/269. Cho đường tròn (O, R) với hai đường kính vuông góc AB và CD. Lấy điểm P trên đường tròn đó. Trên tia OA lấy điểm M sao cho OM bằng tổng các khoảng cách từ P đến các đường thẳng AB và CD. Tìm quỹ tích các điểm M khi P chuyển động trên đường tròn.
T6/269. Cho hai số nguyên dương m và n sao cho n+2 chia hết cho m. Hãy tính số các bộ ba số nguyên dương (x, y, z) thảo mãn điều kiện: tổng x+y+z chia hết cho m, trong đó mỗi số x, y, z đều không lớn hơn m.
T7/269. Cho số tự nhiên n ( 2 và hai số thực dương a, b sao cho n-1 < a/b ( n. Xét các dãy số thực x1, x2, ..., xn thoả mãn điều kiện: x1 + x2 + ... + xn = a, trong đó 0 < xi ( b, (i = 1, 2, ..., n. Tính GTLN, GTNN của tích P = x1.x2...xn và xác định tất cả các dãy x1, x2, ..., xn ứng với GTLN, GTNN đó.
T8/269. Tìm tất cả các hàm số f: R ( R thoả mãn điều kiện: f= 2f(x) - 3, với mọi x ( 2.
T9/269. Có tồn tại hay không đa giác đều 600 cạnh trong mặt phẳng toạ độ Đề Các Oxy mà toạ độ các đỉnh của nó đều là số hữu tỉ?
T10/269. Cho tứ diện ABCD. Lấy một điểm Q nằm trong tứ diện. Gọi Q` là điểm đối xứng với Q qua mp(BCD). Qua Q` dựng mặt phẳng song song mp(BCD), mặt phẳng này cắt các đường thẳng AB, AC, AD lần lượt ở B1, C1, D1 ta được hình chóp cụt BCDB1C1D1. Bằng cách lấy điểm đối xứng với Q qua mỗi mặt còn lại của tứ diện rồi dựng các mặt phẳng song song tương tự như trên, ta được 3 hình chóp cụt nữa. Hãy xác định vị trí điểm Q để tổng các thể tích của 4 hình chóp cụt tạo thành là nhỏ nhất.